[Pulsatile flow] Steady flow _Poiseuille flow

[Prerequisite]

1.Fluid dynamics

(continutiy and momentum eq on a rigid tube)

 

2. Bessel Function

(First, and Second order Bessel function)

 

 

 

Blood 를 

Fluid 관점에서 해석할 때,

 

크게 2가지 특징이 존재한다.

 

 

 

 

1. Non-Newtonian characteristic

 

2. 심장의 주기적인 박동 flow

- Pulsatile Flow.

 

 

 

 

 

first 특성은, 블로그의

https://jeffdissel.tistory.com/85

blood viscosity 부분에서 다루었고,

 

 

 

 

 

 

지금부터 두번째

Pulsatile Flow에 대해서 알아보자.

 

참고할 책은

 

 

그중에 ch3,4,5를 다룰 것이고

 

Ch3 Steady Flow in a tube

Ch4  Pulsatile Flow in a Rigid Tube

Ch5 Pulsatile Flow in an Elastic Tube

 

를 먼저 다루어 보자.

 

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제일 먼저, tube에서 미소 부피를 떼어내어

연속방정식(질량보존법칙)을 분석해보자.

 

Influx - outflux (x,r,thea 방향)

= 전체 부피차이만큼의 질량변화량

 

 

식을 통해서 4번의 식이 도출되고,

incompressible Flow가정을 더해주면,

5번식으로 정리된다.

 

 

이후에, Axissymetric, FD 가정을 통해서

Theta방향으로 유체의 특성이 변하지 않으며,

x방향으로 속도가 일정하다고 가정하면

 

v = 0 이 도출된다.(6번)

 

 

 

 

 

이후, Naviers Stokes 방정식

u 에 대한 식에서,

지금까지의 3가지 가정을 적용시키면,

 

 

 

 

 

 

다음 식이 나오게 된다(dp/dx = ks)

 

 

 

 

 

다음은 B.C을 이용하여 위식의 해를

직접 구해보자.

 

 

 

 

 

 

r = 0 일때 중심에서 발산하지 않게 하려면 상수1 = 0

r=a에서 벽에서 속도 = 0 (no-slip B.C)을 적용하면

 

 

위와 같이 최종적으로 속도장의 식이 나오며,

 

 

 

위의 식을

Poiseuilla flow

의 속도장 식이라고 말한다.

 

다시 정리해보면 가정은

1. Axissymetric

2. Fully Developed

3. Steady state

4. Newtonian Fluid

5. No-slip Boundary condition

6. incompressible flow

 

 

 

속도 profile을 나타내 보면,

다음과 같이 r=0 을 중심으로

axissymetric 한 속도 프로파일을 가지고있음을

알 수 있다.