Ch7 Instability 3 - Inviscid stability

 

 

지난 시간에

 

Squire's Theorem을 통해서

모든 3D disturbances는

2D로 전환됨을 확인하여,

 

2D disturbance를

method of normal modes로 가정후,

Naviers stokes 방정식에 대입후,

 

Stream function을 활용하여,

 

Orr-Sommerfeld Eq을

유도하였다.

 

 

 

 

 

위의 방정식을 Inviscid인 경우 해석해보자.

 

 

 

위 Rayleigh Eq의 경우

c, Φ 가 특정 k에 대하여 식을 만족한다고 가정하면,

complex conjugate

C*, Φ*도 위 식을 만족함을 알 수 있다.

complex conjuage pairs

 

 

 

 

 

진짜인지 한번 증명해보자.

각각 의 경우 를 Rayleigh Eq(10)에 대입해주자.

 

 

 

그리고 Real part, imaginary part로 나누어주자.

 

 

 

우리가 증명할 것은,

1번식 = 0 일때,

2번식 = 0 임을 보이면 된다.

 

 

1번식 = 0 ->

1번식_real part = 0,

1번식_imaginary part =0 

이다.

 

 

위 전개식을 보면,

1번식_real = 2번식_real

1번식_imagine = - 2번식_imagine

 

이므로,

결론적으로 2번식 = 0 임을 알 수 있다.

 

 

 

 

이는 참 재밌는 사실을 함축 하고 있다.

 

 

ci < 0 인 c가 위 식을 만족하면,

Method of normal modes에서

거듭 강조했다 싶이, stable한 경우이다.

음수이면, u 가 시간에 따라서 decay -> stable

 

 

 

하지만 재밌게도, C의 complex conjugate(C*)도 

Rayleigh Eq을 만족하는 상황이므로,

 

동시에 C* >0 즉, unstable한 상황이 발생한다.

 

 

따라서, inviscid 한 경우에는

Ci = 0 이어야 지만, stable하다 라고 말할 수 있다.

 

(to each growing mode, there is a corresponding decaying mode)

 

 

 

 

 

 

unstable 한 경우를 더 분석해보기 위해

10번식의 좌변 첫번째 항에

Φ*를 양변에 곱해주고 적분해주자.

 

 

 

BC으로, dΦ/dy = 0

(속도 = 0)임을 알 수 있다.

 

 

 

 

(여기서 dΦ*/dy 를 변환 과정)

 

 

 

 

 

같은 방식으로 10번식 전체에 Φ*를 곱해주고 적분해주자.

 

 

 

11번 식을 잘보면, 2번째 항에 imaginary part가 숨어있음을 알 수 있다.

(by c)

 

 

 

추출을 위해 U-C*을 2번째항, 분모 분자에 곱해주자.

 

 

 

허수부분 = 실수부분 = 0 이므로,

12번식 = 허수부분 = 0 임을 알 수 있다.

 

 

 

 

 

12번 식을 해석해보면,

 

 

 

c_i가 0 이 아닐 때,

위 적분 식이 = 0 이기 위해서는

d^2U/dy^2 = 0 인 지점이 boundary안에

존재해야 한다.

 

그 지점이 inflection point!

 

 

 

 

 

 

이 관점이 바로,

 [RAYLEIGH Theorem]

Inviscid flow 에서

inflection point가 존재하면,

unstable flow 가능성이 존재한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

이번에는 11번식의 real part = 0 을 분석해보자.

 

 

 

 

여기서 12번식의 적분항 = 0 이므로, 14번식을 만들 수 있다.

(U1 : inflection point 근처 속도)

 

 

 

 

여기서, 13,14번 식을 더해주면,

unstable 의 새로운 조건이 탄생한다.

 

 

 

위 식을 분석해보면,

우리가 분석하는 boundary 안

어딘가에서는

 

 

 

이게 바로 [Fjortoft's Theorem]

 

 

 

 

 

 

위 theorem 을 이해시켜주는 간단한 예시를 살펴보자.

 

 

 

 

위 상황을 잘보면,

Rayleigh condition

d,e,f가 만족 하고,

 

Fortoft condition은

e,f가 만족함을 알 수 있다.

 

 

따라서, e,f,가 unstable의 가능성을

함축하고 있다.

(무조건 unstable은 아님, ci =0 일 수 있으니)