Ch1. Kinematics

 

시작에 앞서서,

Cartesian Tensor에 대해서

익숙해지고 들어가자.

 

 

유체의 움직임에 관한 식을

유도하는 과정에서

가장 중요한 도구인

Cartesian Tensor.

 

 

기본적으로,

i,j,k 인덱스를 사용한다.

규칙: 인덱스가 1,2,3일때를 모두 작성하고 더해주는 식이다.

index 한 종류인 경우.

 

 

 

위처럼, 인덱스가 두 종류가 곂쳐져 있는 경우는

 

먼저, 한 인덱스를 고정하고 다른 인덱스를 1,2,3대입후 더해주는 식으로 진행한다.

 

 

 

 

gradient

 

굉장히 많이쓰이는 gradient를 Cartesian으로 표현하면,

위와 같다.

 

 

 

 

 

#자주쓰이는 연산자 2가지.

 

i = j 가 같으면 1, 다르면 0

생각보다 단순하다.

 

 

두번째는 123 순서 기준으로 정방향이면 1, 역방향 -1,

곂치는 숫자가 존재하면 바로 0 이다.

 

 

 

어디다 쓰이냐는 생각이 드실 것이다.

 

바로 예시로 적용해보자.

 

 

 

curl 의 경우 

Alternation tensor로

위처럼,

쉽게 표현할 수 있음을 알 수 있다.

 

 

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자 이제, tensor notation을 사용하여,

유체의 motion - kinematics를 분석해보자.

 

 

 

 

먼저, 점 0에서 p 로 미소 유체가 이동하였다고 가정해보자.

 

 

여기서, 각 1,2,3방향으로의 속도 변화량을

Velocity Gradient Tensor로 다음과 같이 표현 할 수 있다.

 

 

 

 

여기서, Velocity Gradient tensor로 두가지로 나누어 표현해보자.

 

 

 

나눈 이유는,

각각 term의 설명을 들으면 이해가 될 것이다.

 

 

 

 

 

 

1. Sij - Strain rate Tensor

 

 

 

 

 

여기서

Diagonal term

non- Diagonal term

나누어 설펴보자.

 

 

 

 

a. Diagonal term

 

 

Physical meaning

: fluid element length change 의 rate를 각 방향별(1,2,3) 별로 나타낸다.

Elongation, contraction길이를 나타낸다.

 

 

 

 

 

같은 방식으로 dx2 , u2를 가지고 2방향으로

유체 요소가 elongation or contraction하는 rate를 구한다면

(시간의 변화에 따른 strain)

 

S22가 나올 것이다.

 

 

 

 

 

 

b. Non- Diagonal term

 

Physical meaning

: Fluid element angular deformation rate(시간에 따른)

 

 

 

 

 

 

위의 경우, x3동일 평면에서 

angular deformation rate를 다음과 같이 구할 수 있다.

 

결론적으로 

Non-diagonal Strain rate tensor term

이 나옴을 확인 할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

지금까지, Strain rate tensor(Sij)

에 대해서 알아보았고,

 

 

 

 

 

이제 Rotation Tensor(Rij)를 분석해보자.

 

행렬 형태로 나타내면 위와 같고,

 

 

 

 

이를 Curl(u) , Vorticity (w)로

다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

여기서 Rotation Tensor의 항들이 의미하는 바는.

유체 요소의

 

 

Average rotational rate on counter-clockwise direction.

 

 

 

아까, non-diagonal term의 angular deformation그림을 그대로 이용하자.

 

 

 

반시계방향으로의

Average rotation rate를 구해보면,

다음과 같이 표현 할 수 있고,

Rotation tensor의 component임을 확인 할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

 

햇갈리지 말아야 할 것이 바로

Angular deformation vs Rotation 이다.

 

 

Angular deformation - Strain rate tensor (non-diagonal term)

Rotation - Rotation tensor

 

 

 

밑의 예시를 보면 바로 이해가 갈 것이다.

 

 

 

(a)의 경우 angular deformation

(b) 의 경우 Angular deformation + irrotational

(c) 의 경우 Rotational + no deformation.

(d) irrotational + no deformation.