Ch2 Conservation Laws_part1

 

 

part1에서는

 

Ch1에서 배운 

Cartesian Tensor를 사용하여

유체역학 시간에 배운 

 

Conservation of Mass

Conservation of Momentum

 

 

을 빠르게 살펴보자.

 

 

 

가장 기본적인 핵심은

레이널즈 수송정리 이다.

https://jeffdissel.tistory.com/3

[Gas Dynamics] Ch 2 Control Volume Analysis - Reynolds Transport theorem

(위 글에서 쉽게 이해할 수 있을 것이다.)

 

 

Reynolds Transport Theorem(RTT)

 

 

여기서,

V(t)는 Control volume의 부피를 의미하고,

A(t) 는 Control surface

b는 Control volume표면의 속도벡터이다.

 

 

 

바로 이제 보존법칙 2가지 분석들어가 보자.

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1. Conservation of Mass, F(x,t) =ρ(x,t) 

 

 

RTT left hand side

움직이는 control volume 내부의

물분자는 계속해서 동일하므로,

시간에 따른 변화는 존재하지 않는다.

 

 

 

RTT right hand side

여기서 핵심은 b = u 라는 점이다, control volume이 여기서는

아주 극소의 유체 volume이라고 가정하였기 때문에,

유체의 속도와 동일하다고 고려한다.

 

 

 

이제, gauss theorem 을 통해서,

면적분을 체적분 + gradient

(divergence thoeorem)

으로 전환해준다.

 

 

 

 

이후, 체적분으로 묶어주면

 

 

다음과 같이 Cartesian tensor를 활용하여,

Gradient를 표현한,

Conservation of mass Eq.

= Continuity Eq이 도출된다.

 

 

 

 

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2. Conservation of Momentum

 

시작은, Control volume에 대해

운동량 변화량 = Body force + surface Force

로 시작한다.

(d(mv)/dt = F or ma = F)

뉴턴 2법칙

Body force는 중력만 있다고 가정.

 

 

 

여기서, 먼저 Surface Force항 을 살펴보고,

left hand side의 운동량 시간변화량을 살펴보자.

 

 

 

 

# Surface Force, f

 

시작은,

 

stress평형이다. control volume 표면에 대해서

surface force면적분을 해주고,

아주 작은 미소단위로 극한을 취해주면 = 0

 

 

 

 

 

이유는 간단하다, 밑에처럼 미소단위로 갈때,

부피가 0에더 가까워진다.

 

 

 

 

 

따라서, 운동량 변화량 식을 보면, Vm(t)항들이 0 이 되어버리기 때문에

(Control volume - 미소단위의 유체 부피)

surface force term도 0 이된다.

 

 

 

 

 

 

여기서, 그림처럼

이제 f를 1,2,3방향으로 전부 쪼개주자.

 

 

 

Stress equilibrium을 활용하여, 식을 전개해주자.

 

 

 

결론적으로, tensor로 나타내면.

 

 

 

이후, Gauss theorem을 활용하여

체적분으로 바꾸면 Gradient로 표현 할 수 있다.

 

 

 

 

 

지금까지,

Body force는 중력만 있다고 가정.

 

surface force항을 유도하였고,

이제 좌항을 정리해보자.

 

 

 

 

Reynolds Transport Theorem을 활용하여,

(F(x,t) = ρ uj

전개해주면

 

 

 

 

이후, 기존의 F = ma 식에 대입해주면,

최종적으로 전부 체적분 형태이다.

 

따라서, 체적분을 제거해준 후, 전개해주자.

 

 

 

전개하면 초록색 부분이 

연속방정식 항임을 알 수 있다.

(tensor 왜 쓰는지 알겠다, 전개가 쉽다)

위에서 증명했었음.

 

 

 

 

 

따라서, 최종적으로 다음과 같이 

Conservation of momentum Eq.

Cuachy's Equation of Motion

식이 유도된다.