[Engineering Mathematics] Ch 2. 2st-order ODE - part 1

Ch1에서는 1st order ODE를 다뤘습니다.

 

이제는 다음 단계 2차로 넘어가보죠.

 

2nd order linear ODE는

 

다음과 같이 표현되고 Homogenous는 r(x) =0, non-Homogenous 는 r(x) nonzero 인경우.

 

우리가 하고싶은 것은 ? y=f(x)를 찾는것!

 

 

 

일단 Homogenous Linear ODE부터 어떻게 해를 구하는지 살혀보죠.\

 

여기서 중요한 개념부터 알고 들어갑십다.

 

1.Superpositon principle

2. Linearity pinciple

 

 

1. Superposition

사실 정말 간단합니다. 위 방정식의 해  y1,y2 두개를 구했다고 해보죠.

 

그렇다면??

y1'' +py1' + qy1 =0

y2'' + py2' + qy2 = 0

 

이겠죠??

두식을 더하면

(y1+y2)'' +  p(y1+y2)' + q(y1+y2) =0

 

즉,,, y1+y2 도 해가 된다는 것입니다. 이게 바로 Superposition principle

 

"해들의 합은 사실 해이다"

 

 

 

2. Linearity

이것도 사실 간단합니다. 어떤 해 y1이 있다고 했을때,

ay1도( a는 임의의 상수)도 해가 된다는 것이죠.

방정식에 대입해보면 상식적이게 됩니다.

 

이 상식적인 위 principle이 나중에 쓰인다는것!

 

 

Initial Value Problem

거의 모든 2nd order ODE는 두개의 Inital value가 주어집니다.

 

 

위 두개의 조건을 만족하기 위해서, General Soltuion은

 

위처럼 두개의 해의 합과 상수로 표현 됩니다!

그러면 여기서 의문점이 생기죠?? 왜꼭 두개인가?

두개 이어야 하는 이유?

 

위 문제의 경우, y = c1 cosx 가 해임을 대입을 통해서 알 수 있습니다.

만약에 이게 유일한 해라면??, initial value를 대입해보면,

 

3 = c1, -0.5 = 0 이라는 불가능한 답이 나옵니다.

 

따라서, inital value가 두개인 이상, General soltution은 두개의 해의 합으로 표현 됩니다.

 

 

위의 연장선으로, y1과 y2가 서로 비례하는 즉, y1=u y2(u는 상수) 라면,

결국 y = c1y1+c2y2 = C * y1 이 되죠.

 

그 말은 불가능하다는 이야기입니다.

 

따라서, y1과 y2는 비례관계이면 절대 안된다는 것입니다.

이것을 수학적으로 표현 한 문장이 바로.

 

 

이고, y1과 y2는 Linearly independent하다 라고 말합니다.

 

우리는 linearly independent한 두해 y1,y2를 basis of solution 이라고 정의

 

-----------------------------------------------------------------------------

 

 

 

만약에 y1,y2중 한개 y1만 알경우, 우리는 위 원리대로 y2를 구할 수 있습니다.

이것을 Redcution of Order

 

 

증명) 밑 식의 해 y1을 안다고 가정하고, y2를 구해봅시다.

 

 

 

 

 

y2 = u(x) y1이라고 정의하고 대입하게 되면,

 

 

 

 

 

 

마지막 식에서 오른쪽은 0 이고,  u' = U, u'' = U' 이라고 정의하면, 1st Order ODE식으로 바뀌게 됩니다.

결국 2nd ODE -> 1st ODE 로 바꾸어서 Reduction of order method라고 부른것.

 

 

 

 

따라서, 최종 해는